Krampl, Peter: Komplexe Nichtlineare Optik: Theoretische Charakterisierung der 2- Photonen Resonanz nichtzentrosymmetrischer Materie
TitelAbkürzungsverzeichnisDanksagungKapitel 1Kapitel 2Kapitel 3Kapitel 4Kapitel 5Kapitel 6Anhang

Komplexe Nichtlineare Optik: Theoretische Charakterisierung der 2- Photonen Resonanz nichtzentrosymmetrischer Materie

 

Masterarbeit
>>Forschungsorientiert<<

im Studiengang Elektrotechnik und Informationstechnik

Vertiefungsrichtung Photonik

an der

 

- Lehrgebiet Optische Nachrichtentechnik - 

vorgelegt von

Peter Krampl

Juli 2011

Der Dekan der Fakultät für Mathematik und Informatik
Univ. Prof. Dr. Werner Kirsch

Der Vorsitzende des Prüfungsausschusses
Univ. Prof. Dr. Dr. Wolfgang Halang

Erstgutachter: Univ. Prof. Dr. Jürgen Jahns
Zweitgutachter: Univ. Prof. Dr. Kurt Hingerl
Tag der mündlichen Prüfung: 07.09.2011


 



"Alle Wahrheiten sind leicht zu verstehen, sobald sie entdeckt sind;

es geht darum, sie zu entdecken."

 

Galileo Galilei

 

Zusammenfassung

Es gibt mehrere Gründe für diese Arbeit. Anfänglich war das Ziel die höheren Harmonischen, insbesondere die "Second Harmonic Generation" (SHG) und das damit zusammenhängende "Simplified bond- hyperpolarizability model" (SBHM) zu verstehen, um Versuche u. a. über SHG und DFG einführen zu können. Doch schnell wurde offensichtlich, dass das zugrundliegende aktuelle nichtlineare Modell (siehe, z. B. [BRW03]) sehr ungenau und nicht allgemeingültig war. Speziell die frequenzabhängige Amplitude und die Entstehung von höheren Photonenresonanzen in der Subharmonischen- bzw. höheren Harmonischen Region sowie deren genaue zugrundeliegende physikalische Theorie wurden dadurch nur sehr unbefriedigend wiedergegeben. Aus diesem Grund wurde die Theorie allgemein betrachtet, welche diese Mankos behebt und die Ergebnisse zu einer neuen, genaueren Modellbildung führt. Speziell die Berücksichtigung der frequenzabhängigen Amplitude ist interessant, weil es zusätzlich den Weg für eine nichtrelativistische bzw. relativistische atomare Interpretation der nichtlinearen Optik von zentrosymmetrischer und nichtzentrosymmetrischer Materie öffnet und auch auf biologische Materialien anwendbar ist. Zur Lösung dieses nichtlinearen optischen Problems wurden ein störungstheoretischer sowie ein analytischer Ansatz gewählt und numerisch überprüft. Die störungstheoretische Lösung liefert die natürlichen Resonanzen des Systems. Um sicherzustellen, dass alle Eigenschaften des nichtlinearen Responses berücksichtigt werden, wurde die Singularität zentro- und nichtzentrosymmetrisch gebundener Materieelektronen mathematisch exakt modelliert. Zunächst wurde gefunden, dass eine einfache Berechnung mittels Störungsrechnung, die Amplitude des Elektronenpartikels im nichtlinearen Regime nur für lorentzartige Materialien typische Verteilungen aufweist und sich proportional zum Nichtlinearitätsparameter α verhält. Die Numerische Lösung lieferte aber einen "exotischen" Skewness- Effekt, der nur in der Nichtlinearität begründet ist.

Dieses Dilemma wurde schließlich analytisch gelöst. In nichtdissipativer Umgebung, in der die Singularitätslinie nicht mehr senkrecht verläuft, wie für Lorentz- Materialien üblich, sondern in Abhängigkeit der Materiesymmetrie eine signifikante Kurve ergibt. Die ermittelten Skewnesskoeffizienten weisen eine quadratische Nichtlinearitätsabhängigkeit auf. Dieses Problem wurde schließlich mit den störungstheoretischen Ergebnissen gelöst. Die Antwort ist, dass sowohl die störungstheoretischen Terme, als auch die nichtlinearen Skewnesskoeffizienten den Nichtlinearitätsparameter enthalten. Letztendlich verbleibt damit eine lineare α -Abhängigkeit in der Frequenzfunktion im Nenner, dessen Ergebnis hervorragend durch die Numerische Lösung bestätigt wird. Aus diesen Erkenntnissen heraus konnte zugunsten künftiger Forschungsvorhaben verbesserte Ausdrücke für die nichtlineare Amplitude, Suszeptibilität, Brechungsindex und Polarisation entwickelt werden. Diese mathematischen Konfigurationen zeigen ausdrücklich in den einzelnen Frequenz- Beiträgen eine lineare Abhängigkeit des Nichtlinearitätsparameters im Nenner. Dadurch kann die Skewness berücksichtigt werden. Im Prinzip sollte man damit alle NLO- Phänomene beschreiben können. Als weitere Ergebnisse dieser Arbeit wurden auch andere Aspekte der nichtlinearen Optik herausgearbeitet. So ergeben sich die höheren Harmonischen erst durch Invertierung der Summenfrequenzordnung. Es ergibt sich für die natürliche Fundamentale des Systems ein Transparenzfenster. In Anwesenheit der 2- Photonen Resonanz ergeben sich ein deformierter rotverschobener Übertragungskanal niedrigerer Übertragungsleistung und ein blauverschobener leistungsstärkerer Übertragungskanal, was bereits auf eine asymmetrische Amplitudenentwicklung schließen ließ. Diese asymmetrische Verteilung wird durch Erzeugung höherer Harmonischer wieder behoben. Zuletzt wurden Ergebnisse des "Simplified bond- hyperpolarizability models" (SBHM) präsentiert und als standardmäßige Referenz die zugrundeliegende Funktion gezeigt, damit die SHG und DFG Versuche verstanden werden können.

 

 

Inhalt

Zusammenfassung.. V

Inhaltsverzeichnis. VII

Verzeichnis der verwendeten Symbole und Abkürzungen.. IX

Abbildungsverzeichnis. XIII

Einleitung.. 1

Aufbau der Arbeit.. 1

 

1             Methoden.. 5

1.1       Wellenaspekte nichtlinearer Optik.. 5

1.2       Approximierte Makroskopische Response Tensoren.. 7

1.3       Ewald-Oseen Extinktions Theorem... 10

1.4       Symmetriebetrachtungen in der makroskopischen Formulierung.. 11

1.5       Asymptotisches Näherungsverfahren nichtlinearer Systeme.. 13

 

2             Hamilton´sche- Struktur nichtzentrosymmetrischer Materie.. 17

2.1       Potential nichtzentrosymmetrisch gebundener Elektronen.. 17

2.2       NZS gebundene Elektronen in dissipativer Umgebung.. 20

2.3       Lyapunov- Stabilitätstheorem... 21

2.4       Fixpunkte und deren Stabilität.. 23

2.5       Diskussion und Zusammenfassung: 26

 

3             Nichtlinearer Elektronenresponse NZS- Materie in der Zeitdomäne.. 29

3.1       Einführung.. 29

3.2       Numerische Lösung: Computer- Physik Details. 34

3.3       Numerische Ergebnisse und Diskussion: 35

3.4       Zeitliche Entwicklung der Elektronen- Trajektorie im Phasenraum... 39

3.5       Diskussion und Zusammenfassung: 46

 

4             nichtlinearer Elektronenresponse NZS- Materie im Fourierraum... 49

4.1       Einführung.. 49

4.2       Asymptotischer Aufbau des Elektronenresponse.. 59

4.3       Singularitäten NZS Materie.. 64

4.4       Diskussion und Zusammenfassung: 88

 

5             Nichtlineare Makroskopische Response Tensoren.. 91

5.1       Einführung.. 91

5.2       Nichtlineare Suszeptibilität und Brechungsindex.. 92

5.3       Diskussion und Zusammenfassung: 98

 

6             SBHM- Modell: Kollektives Verhalten NZS gebundener Elektronen.. 99

6.1       Einführung.. 99

6.2       SHG Response für (111)- Si- SiO2 100

6.3       Bindungselektronen in kristallographischen Koordinaten.. 104

6.4       Spektral- Darstellung des SBHM... 108

6.5       Diskussion und Zusammenfassung: 112

 

7             Anhang A  Ergebnisse.. 113

8             Anhang B  Programmentwicklung.. 121

Literaturverzeichnis. 129

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1‑1 zeigt schematisch das Ewald- Oseen Extinktions Theorem an nichtzentrosymmetrischer Materie. Die orientierten Oberflächendiplole sind entlang der Grenzlinie als blaue Doppelpfeile dargestellt. 11

 

Abbildung 2‑1 zeigt das anharmonische Potential nichtzentrosymmetrischer Medien mit quadratischer Nichtlinearität, welches zum o. g. nichtlinearen Kraftgesetz gehört. Das harmonische Potential (quadratische Approximation) ist zum Vergleich mit eingezeichnet. Die quantisierten Energiezustände sind mit berücksichtigt. 18

 

Abbildung 2‑2: Schematische Darstellung des Energieverlaufs nichtzentrosymmetrischer Systeme in Abhängigkeit der Nichtlinearität α mit eingezeichneter nichtdissipativer Trajektorie im Phasenraum .  Die Nichtlinearität durchläuft in der Darstellung ein vollständiges Vorzeichen, wobei die Nichtlinearität von positiven (α>0, links) durch Achsenspiegelung zu negativen Werten wechselt ((α<0, rechts). Positive Anfangsauslenkung bewirkt die angegebene Schwingungsrichtung. 22

 

Abbildung 2‑3 zeigt den Energieverlauf nichtzentrosymmetrischer Systeme in Abhängigkeit der Nichtlinearität α mit eingezeichneter dissipativer Trajektorie (γ>0) im Phasenraum  ............... 23

 

Abbildung 3‑1 zeigt die zeitliche Entwicklung der Dipolschwingung  nichtzentrosymmetrisch gebundener Elektronen für 55 Perioden; λ = 0.1, α = 0.046165, γ = 0.063, ∆ = -0.1, (ωext = 0.99;                                                  ω0 = 1.0), E = 41.803. Der Ausschnitt zeigt die Zeitentwicklung über 16 Perioden. 36

 

Abbildung 3‑2 zeigt die Entwicklung mit den gleichen Parametern wie zuvor, aber mit einen anderen Verstimmungsparameter ∆ = +2.25 (ωext = 1.0225; ω0=1.0) 37

 

Abbildung 3‑3 zeigt die Entwicklung mit den gleichen Parametern wie zuvor in Abbildung 6-1, aber mit einem kleineren optischen Feld E= 1.0; λ = 0.1, α = 0.046165, γ= 0.063. 37

 

Abbildung 3‑4 zeigt die zeitliche Entwicklung der Wechselwirkung von NZS- Materie mit bichromatischem Laserpuls. Die Nichtlinearität variiert dabei von α =0 (unten) bis α = 0.046165 (oben). Abhängig vom Nichtlinearitätsgrad zeigt sich Frequenzkonversion. Zu beachten ist, dass aufgrund der zeitlich begrenzten Pulsanregung die gezeigten Effekte nur das Kurzzeitverhalten des Elektrons darstellen und nicht das Verhalten für lange Zeiten. 39

Abbildung 3‑5 zeigt die Trajektorie nichtzentrosymmetrisch gebundener Elektronen im Phasenraum, (x, v)- Ebene (oben, rote Kurve) und in der Zeitdomäne, (x, t)- Ebene (unten, rote Kurve), die der Randbedingung  genügt; E=46.0; α=0.046165 linear, dissipativ γ=0.013, ωres = 3.0386, ωext = 2.7386. Dabei weicht in Abhängigkeit des Nichtlinearitätsparameters α oder der photonischen Felder E die Phasentrajektorie deutlich von Spiral- und Kreisbahnen ab, bzw. verläuft unsymmetrisch bezüglich der Zeitachse. Das harmonische Potential zeigt innerhalb davon eine Phasentrajektorie in Form von Kreis und Spiralbahnen (oben, blaue Kurve) bzw. verhält sich achsensymmetrisch bezüglich der t- Achse (unten, blaue Kurve). 41

 

Abbildung 3‑6 zeigt die verhältnismäßig stabilen Phasentrajektorien in der (x, v)- und (x, t)- Ebene ausgehend vom linken instabilen Fixpunkt   in erhöhter dissipativer Umgebung; γ=0.043, E=6.0, α=0.046165 nichtlinear, ωres = 3.0386, ωext = 2.9786. Das Systemverhalten zeigt sich anfangs instabil und ein typischer weises chaotisches Bild wird erhalten. Selbst für die Wahl großer negativer Anfangsamplituden in den Randbedingungen besitzt das System einen stabilen Attraktor. Um den zentralen Fixpunkt vollführt das Elektron eine photonengetriebene Oszillation mit der Frequenz . 43

 

Abbildung 3‑7 zeigt die Bilder der Phasentrajektorien in der (x, v)- und (x, t)- Ebene nichtzentrosymmetrisch gebundener Materieelektronen im linearen (blau) und nichtlinearen Regime (rot), sowie deren heraus präparierte nichtlineare Phasentrajektorie und deren zeitliche Entwicklung (grün). Es zeigt sich deutlich eine Periodenverdoppelungskaskade, welche ein Charakteristikum nichtlinearer Schwingungen, hier insbesondere der 2- Photonen Resonanz darstellt. Ab dem Degenerationspunkt Dp, der auf einen Bifurkationspunkt hindeutet, entwickelt sich die 2. Amplitude; E=46.0; α=0.046165, dissipativ γ=0.013, ωres = 3.0386, ωext = 2.7386. 45

 

Abbildung 4‑1: Charakteristischer Verlauf der parallelen, α > 0 (oben), bzw. antiparallelen (α < 0) (unten) komplexen nichtlinearen Amplitude (blau) und deren nichtlinearer Betrag (orange). Der qualitative Verlauf ist oben zusätzlich mit eingezeichnet (rote Kurve). Für 1- Photonen Resonanz, vor Reziprozierung der Fourierkoeffizienten erhält man neben einem Transparenzfenster eine blau- und rotverschobene Flankendeformation. Dabei überträgt der höherfrequente Emissionskanal die Information schwächer. Dies deutet auf eine asymmetrische Amplitudenentwicklung hin, in der die Amplitudeninformation zu niederfrequenten Bereichen verschoben wird (negativer Skew). Die blaue Kurve (gestrichelt) zeigt jeweils das übliche Resonanzverhalten, welche sich auszeichnet für reziproke Fourierkoeffizienten; γ=0.13494, |α|=0.046165, ω0=3.0386 , E=1.0. 69

 

Abbildung 4‑2: Intensitätsdichteverteilung der behobenen Singularitätsstellen als Kontur- Plot für die 1- Photonen und 2- Photonen Resonanz; Der zugrundeliegende qualitative Verlauf der komplexen Amplitude mit Nullstelle (oben) und deren Betrag mit Transparenzfenster (unten) sind zusätzlich jeweils mit ihren c. c.- Feldern abgebildet. Die punktsymmetrische Amplitudenumkehr für die c.c. Felder sind (jeweils links) dargestellt. Es zeigt sich ein für 1- Photonen Resonanz ein verstärkter, rotverschobener, bleichender Übertragungskanal bzw. respektive für c. c. Felder blauverschobener, färbender Kanal; hochdissipativ γ=0.23494, ω0 = 3.0386, E=1, α=0.046165. 71

 

Abbildung 4‑3: Perspektivische Darstellung des nichtlinearen Betrags der spatialen komplexen Amplitude zusätzlich mit c. c.- Feldern (oben) und deren Separation (Mitte und unten) als Funktion der photonischen Erregerfrequenzen. Die Aufteilung der Fundamentalen 1- Photonen Transparenzfenster in die verkleinerten blauverschobenen bzw. die stärker ausgeprägten rotverschobenen Flanken (für c.c. umgekehrt) sind deutlich erkennbar. Die 2- Photonen Resonanz zeigt diese Besonderheit nicht. Mit zunehmender Ordnung färbt sich die 2- Photonen Resonanz, bzw. bleicht aus für optische c.c.- Felder; γ=0.23494, α = 0.046165, ω0=3.0386, E=1. 73

 

Abbildung 4‑4: zeigt die spezielle Behebung der charakteristischen rotverschobenen Flankendeformation an der komplexen 1- Photonen Resonanzstelle mit Transparenzfenster nach Reziprozierung der Fourierkoeffizienten der Summenfrequenz. Die 2- Photonen Resonanz wurde aus Darstellungsgründen ausgeblendet, weil deren komplexe Amplitude nach Reziprozierung im Vergleich zur Fundamentalen zu schwach ausgeprägt ist; γ=0.23494, α = 0.046165, ω0=3.0386, E=1.0. 74

 

Abbildung 4‑5 zeigt den charakteristischen Verlauf des nichtlinearen Amplitudenbetrags nichtzentrosymmetrischer Materie (grün) in der bisherigen aktuellen nichtlinearen Modellbildung (siehe z. B. [BRW03]) im Vergleich zur numerischen, linearen (blau) und nichtlinearen Lösung (rot). Es ist deutlich die Aufteilung in eine schwächer ausgeprägte rotverschobene Flanke (rechts) und einen blauverschobene Emissionskanal zu erkennen; γ=0.013494, E = 7.5, α = 0.046165, ωext=2.9786,  ω0=3.0386. Für den Fall vollständig fehlender Nichtlinearität, α = 0, zeigt die Response Funktion im Fourierraum gewöhnliche Resonanz bei , wie sie charakteristisch für Lorentz- Materialien sind. Unter Berücksichtigung quadratischer Nichtlinearität, , zeigt sich ein neues dispersives Resonanzverhalten. Für nichtzentrosymmetrische Materie mit  erhält man mit zunehmender Amplitude eine harte Potentialcharakteristik und die Kurve zeigt negative Skewness. 76

 

Abbildung 4‑6: Intensitätsdichteverteilung der 1- Photonen und 2- Photonen Resonanz und deren reziprozierten Ordnung der Fourierkomponenten zur Generation der höheren Harmonischen (SHG) im Vergleich zum harmonischen Response für α = 0. Abhängig von der Materiesymmetrie zeigt sich Frequenzkonversion nur für geradzahlige Harmonische (rechts). Der Harmonische Response ist als Konturlinien- Plot (oben rechts) mit berücksichtigt. Dabei dienen die Konturlinien der 2- Photonen Resonanz nur zur Veranschaulichung des Skewness- Effekts. Für den harmonischen Response bleibt dieser aus und es ergibt sich nur die 1- Photonen Resonanz (links). Die Abweichung vom harmonischen Response zeigt den Skew, der nur im nichtlinearen Fall auftritt. Im Gegensatz zur Literatur- Lösung [BRW03], in der die Nichtlinearität als Proportionalitätsfaktor berücksichtigt wird und somit nur auf die Größe der Intensität Einfluss nimmt, kann mit der hier erhaltenen Lösung und dem entwickelten Algorithmus auch exakt die Skewness der Amplitude bzw. Intensität vorhergesagt und beschrieben werden. Die spezielle Änderung der Imaginärteile der nichtlinearen Amplitude xi beim Übergang vom linearen (grüne Kurve) ins nichtlineare Medium in der Fourierdomäne (rot und blau gekennzeichnet) wird darunter gezeigt (Mitte). Dabei ergeben sich für die linkseitige und rechtsseitige Näherung an die Singularität identische Kurven. ROT: von kleinen Frequenzen kommend; BLAU: von hohen Frequenzen kommend (aus Darstellungsgründen leicht versetzt eingezeichnet). Es zeigt sich zusätzlich zur 1- Photonen- Resonanz, eine 2 Photonen Resonanz bei ω0/2. Der harmonische Response zeigt sich dabei besser abgestimmt als die nichtlinearen Responses, welche größere Frequenzverteilungen aufweisen. (unten) Vergrößerungs- Ausschnitt der erhaltenen 2- Photonen Resonanz für die Integration über 474 Perioden des Photonenfeldes; γ=0.013494, E = 7.5, α = 0.046165, ωext=2.9786, ω0=3.0386. 79

 

Abbildung 4‑7: Nichtlinearer skewnessbehafteter komplexer Elektronenresponse im extrem nichtlinearen Regime; α=1.46165, γ=0.13, E=1.0x106, ω0=3.0386, b=80. Ganz oben sind die Amplitudendichten als Funktion der Frequenz für zentro- bzw. nichtzentrosymmetrische Materie (unten) im extrem nichtlinearen Regime gezeigt. Die Amplituden werden für höhere Harmonische extrem klein. Deshalb wurde die Amplitudenverteilung um die 2. und 3. Harmonischen aus Darstellungsgründen höher gewichtet. Die lineare Intensitätsverteilung ist entsprechend als Konturlinie berücksichtigt, wobei die Konturen für SHG und THG zur Darstellung der Skewness mit eingezeichnet wurden (Mitte). 81

 

Abbildung 4‑8: Qualitativer Verlauf der komplexen nichtlinearen Amplitude für verschiedene Materiesymmetrien in Wechselwirkung mit bi- und trichromatischen c. c.- Feldern, welche unterschiedliches nichtlineares Verhalten zeigen. Dies zeigt sich insbesondere in Bezug auf ihre Skewnessorientierung und Generation der höheren Photonenresonanzen. Die speziell skewnessbehaftete komplexe nichtlineare Amplitude nichtzentrosymmetrischer (blaue Kurve) und undotierter bzw. negativ dotierter zentrosymmetrischer Materie (grüne Kurve, ) zeigt negative Skewness. Dabei ist bemerkenswert, dass für positiv dotierten Bulk, , (rote Kurve, ), die Skewnessorientierung nicht erhalten bleibt. Die Nichtlinearität durchläuft dabei ein vollständiges Vorzeichen und macht deren Einfluss deutlich sichtbar. Zudem ergibt sich Frequenzkonversion. Abhängig von der Materiesymmetrie werden nur höhere geradzahlige bzw. ungeradzahlige Photonenresonanzen generiert (links unten und rechts oben). Die 3- Photonenresonanz macht sich erst für erhöhte Nichtlinearitätsparameter β um 2 Größenordnungen, Faktor 100, bemerkbar; γ=0.0135, E=7.5, α=0.046165, ωext=2.979, ω0=3.0386. 82

 

Abbildung 4‑9 zeigt den Skew nichtzentrosymmetrischer Materie zusammen mit den Singularitätslinien. Die rote Singularitätslinie spiegelt die Skewness der 1. Subharmonischen wieder, dazu die blaue Singularitätslinie zum Vergleich ist gemäß der Skewness der Fundamentalen stärker geneigt. Dies macht deutlich, dass der Skewness- Effekt abhängig von der Art und Ordnung (SubHG und HHG) der Singularitätsstelle, bzw. deren behobene Singularität, unterschiedlich ausgeprägt ist. Als Ergebnis erhält man für α → α2 eine sehr gute Bestätigung der auftretenden Skewness. Damit wird die entwickelte analytische Lösung hervorragend bestätigt; γ=0.013494, E=162.5, α = 0.046165, ωext=2.979, ω0=3.0386. 85

 

Abbildung 4‑10: Spatiale Darstellung der skewnessbehafteten, nichtlinearen 1- Photon- Elektron Wechselwirkung nichtzentrosymmetrischer Materie, welche die richtige Orientierung des Responses berücksichtigt (oben). Die durch die 2- Photonen Resonanz nach Reziprozierung der Ordnung ihrer Fourierkomponenten hervorgerufene 2. Harmonische (SHG) wurde zusätzlich unter Berücksichtigung optischer c. c.- Felder berechnet (Mitte links). Zusätzlich dargestellt ist die skewnessbehaftete 3- Photonen Resonanz undotierter zentrosymmetrischer Materie bei (1/3) ω0 (Mitte, rechts). Die 1- Photon- Elektron- Resonanz für den harmonischen und nichtlinearen Response undotierter nichtzentrosymmetrischer und positiv dotierter zentrosymmetrischer Materie in Perspektive, zeigt anschaulich die Skewnessumkehr (unten). Zusätzlich ist das "übliche" harmonische Resonanzverhalten berücksichtigt; Hochdissipativ γ=0.43, α=0.046165, ω0=3.0386. 87

 

Abbildung 6‑1 zeigt die tetraedrische Elektronenstruktur von (111) Si- SiO2- Oberflächen, welche gewöhnlich eine "up" Bindung und drei "back" Bindungen aufweisen (links). Zum Vergleich ist die räumliche Anordnung der Elektronenstruktur für zentrosymmetrische Materie (Bulk) gezeigt (Rechts) . Die beiden "upper" Bindungen befinden sich in der xz- Ebene mit den Bindungswinkeln γu und die beiden "down" Bindungen sind in der yz- Ebene orientiert mit den Bindungswinkeln γd. Dabei wurde die Konvention benutzt, in der alle Bindungen vom Zentral-Atom wegzeigen und in die äußerste Ebene gerichtet sind. 100

 

Abbildung 6‑2: Theoretische Modellberechnung der SHG Spektralgraphen beispielhaft für vicinale 5° (111) Si-SiO2 Oberfläche mit ss- polarisiertem Licht  (oben) und für sp- polarisiertes Licht mit   (unten) und Vergleich mit den experimentellen SHG Daten von Lübke et al [LBD94]; α = 11.7x103, L = 3.0, Δk = 0.667 (s-s): α = 34.0x103, L = 3.0, Δk = 2.330 (s-p) bei jeweils 765 nm. Die theoretische Rekonstruierung stimmt mit den publizierten Ergebnissen überein. 111

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