Nichtlineare Quantenoptik und Multiphotonen- Quantenelektrodynamik für Materialanregungen: Optische Bloch Gleichungen & Nichtlineare

Hochenergie- Optik Ia

Peter Krampl*

0 Kapitel 1

1Iterativer Algorithmus für N– Zustands– Systeme

1.1 Einführung

Die Formulierung der Quantenmechanik basierend auf der Beschreibung des Dichteoperators für Zustände geht zurück auf Neumann und Landau, aber ihre Anwendung wurde auf nur wenige Zustände begrenzt. Es ist wichtig für die Beschreibung hoher Harmonischer neue Methoden zu erforschen mit dem Ziel die Dynamik mit vielen Zuständen oder sogar mit einem kontinuierlichen Spektrum zu beschreiben. Deshalb wird in diesem Abschnitt eine Methode vorgestellt, in der ausgehend von atomaren zwei Level Systemen auf N- Level Systeme geschlossen werden kann. Atomare Zweizustands- Systeme lassen sich nach dem Konzept von Boyd (2003) exakt analytisch lösen. Auf Grundlage dieser Lösungsstrategie wird ein iterativer Algorithmus zur Berechnung von Multilevelsystemen molekularer Suszeptibilitäten / Tensoren vorgestellt, welche durch Elektron- Multiphotonenwechselwirkung induziert werden. Dazu wird zunächst eine mathematische und numerische Grundstruktur des nichtzentrosymmetrischen Systems herausgearbeitet um zunächst den Dichteoperator in seiner zeitlichen Entwicklung unter dissipativen Bedingungen zu beschreiben. Die Darstellung des Dichteoperators basiert auf einen iterativen Algorithmus mit einer Fourier- Spektralmethode, welches eine Beschreibung seiner zeitlichen Dynamik im Ortsraum, sowie das Verhalten im k- Raum erlaubt. Erweiterte Ausdrücke der "optische Bloch" Gleichungen können formuliert werden.

1.2 Nichtlineare Suszeptibilität

Die molekulare, quantenmechanische Beschreibung der Summenfrequenzerzeugung (SFG) geht in die Berechnung der Suszeptibilität ein, welche die Wechselwirkung des Wellenfeldes mit der Materie beschreibt. Das nichtlineare Suszeptibilitätsproblem lässt sich über den Dichtematrixoperator durch folgenden Algorithmus lösen.

1. Berechne die Dichtematrix gemäß der Iteration:

A. Wähle die ungestörte Dichtematrix mit Iterationsbeginn N=1;

B. Berechne den Kommutator

C. Löse das Liouville Integral (1.1.1)

(1.1)

D. Iteriere N := N+1

E. Fahre mit dem neuen Wert N := N+1 für bei Schritt B fort bis die gewünschte Ordnung der Näherung erreicht ist.

2. Berechne Erwartungswert des atomaren Dipolmoments in Abhängigkeit der interessierenden Fourierkomponenten von mit

3. Bestimme die Komponente der komplexen Amplitude der nichtlinearen Polarisationsoszillation im Fourierraum mit:

3.1. Bilde die Spur in der Zeitdomäne (Zeitdomäne)

3.2. Berechne (Fourierraum)

3.3. Bestimme Suszeptibilität durch Koeffizientenvergleich

4. Berücksichtigung der Permutationssymmetrie: Summation (wird wenn nötig am Schluss durchgeführt)

4.1. Summiere über alle kartesischen Koordinaten i, j, k, ... von μ, d. h.

4.2. Summiere über alle Populationsdifferenzen der beteiligten Zustände

5. Berechne die vollständigen Terme unter Berücksichtigung der intrinsischen Permutationssymmetrie, mit Permuter , und Die intrinsische Permutationssymmetrie (symmetrische Gruppe S_n) werden in den Summationstermen unter Vertauschung von und Permutation der Kopplungen und Frequenzen berücksichtigt.

6. Erzeugung von positiven Termen durch entsprechenden Indexwechsel

7. Wenn notwendig: Erzeuge Summationsterme in Abhängigkeit der Populationen

Berücksichtige die Randbedingungen (Kalte Atome: Nur Grundzustand (Startelement) besetzt.

1.3 Dichtematrix atomarer Multilevelsysteme

Zur Berechnung der Dichtematrix muss zunächst die Integration der berechneten zeitlichen Entwicklung der Dichtematrix in den sukzessiven Näherungen aus der Rayleigh- Schrödinger- Störungsrechnung erfolgen. Dabei betrachten wir die stationären Lösungen des atomaren Zweiniveausystems der beiden langlebigen, nichtentarteten Zustände n und m, die wir mit der ungestörten Dichtematrix erhalten, wobei ist für nichtentartete Zustände . Bei der Integration der Störungsausdrücke ist es sinnvoll die zeitlichen Kohärenzen über einen Variablenwechsel mit einzuführen. Man erhält die Ableitung in Termen von und mit

(1.2)

Aus dieser Gleichung können problemlos und nach Integration erhalten werden mit

(1.3)

und

(1.4)

Durch Substitution für die zeitlichen Kohärenzen mit erhält man insgesamt die störungstheoretische Dichtematrixkorrektur q- ter Ordnung.

(1.5)

1.4 Von zwei zu fünf Zuständen II

Es soll nun untersucht werden, wie die Ergebnisse des Zwei- Zustands- Modell mit zunehmender Anzahl der Zustände skalieren. Wir entwickeln den Kommutator zunächst über 3 atomare Zustände mit n und m über den virtuellen Zwischenzustand v.

(1.6)

Unter Nutzung der Delta- Distribution erhält man vorerst den nm- Übergang:

(1.7)

d. h. der Kommutator definiert sich ausschließlich über den Anfangs- und Endzustand:

(1.8)

mit

(1.9)

wobei die t´- Abhängigkeit, mit t´ > t, jetzt durch das optische Feld berücksichtigt wird. Das Liouville Integral über diese Zustände ergibt sich mit q = 2 zu

(1.10)

wobei wir im Limes anschreiben können:

(1.11)

Nach Grenzwertbildung stationärer Lösungen erhalten wir die vollständig integrierte Liouville Gleichung:

(1.12)

mit

(1.13)

1.5 Kommutator atomarer N- Zustands- Systeme: Quantenoptisches Zustands- Engineering

Weitere Zustände können über zwei Schritte hinzu summiert werden. Damit umgeht man die explizite Berechnung des Liouville Integrals für jede Ordnung selbst. Dabei Formuliert man den Kommutator über einen weiteren Zustand, so dass über deren Summation folgender Kommutator erzeugt wird.

(1.14)

Die Dichtematrix wird über alle zusätzlich hinzukommenden Zustände summiert. Mit der verkürzten Notation erhält man folgende Ausdrücke:

(1.15)

(1.16)

mit

(1.17)

und

(1.18)

Durch die Summierung erhält man sehr schnell die relevanten Grundterme und die zugehörigen Grundgraphen. Zusätzlich eingestrahlte optische Felder werden durch den Kommutator in der Form

(1.19)

berücksichtigt. Integration des Kommutators ergibt die Dichtematrix hoher Ordnung.

(1.20)

Damit erhält man 8 Terme aus denen sich 16 Grundterme unter Berücksichtigung der Zustandsmischungen generieren lassen.

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(1.26)

(1.27)

(1.28)

(1.29)

Unter Berücksichtigung der symmetrischen Gruppe, d. h. der intrinsischen Permutationssymmetrie, bei der über alle Permutationen der eingestrahlten Kohärenzen und simultan über die kartesischen Indices g, h, i, j Permutiert wird, lassen sich alle 16 Grundterme gewinnen. Die eingestrahlten Fourierkomponenten werden als positiv vorausgesetzt. Die Energieeigenzustände sind geordnet und folgen der Ungleichungskette . Die Matrixelemente treten in ihrer natürlichen Ordnung auf mit . Alle Populationen der einzelnen Zustände untereinander werden als identisch vorausgesetzt. Im Resonanzfall verschwinden deren Resonanzbeiträge und es ist möglich die allgemeine Suszeptibilität N- ter Ordnung in Abhängigkeit der Summationsterme über die Populationen zu formulieren, anstatt die Populationsdifferenzen berücksichtigen zu müssen. In Abhängigkeit des Grundzustands mit einer Besetzung entsprechend der thermischen Verteilung, d. h. , erhalten wir für die 4. Hyperpolarisierbarkeit, einen Tensor 5. Ranges in den Komponenten ihrer Übergangshyperpolarisierbarkeiten:

(1.30)

(1.31)

(1.32)

(1.33)

(1.34)

(1.35)

(1.36)

(1.37)

(1.38)

(1.39)

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

(1.44)

(1.45)

(1.46)

mit zusätzlich jeweils für jeden Beitrag N! Aufspaltungs- Terme, welche durch den Permutationsoperator berücksichtigt werden. Der Funktionsverlauf wird anhand der dielektrischen Funktion berücksichtigt und ist graphisch in Kapitel 1, Abb. 1.1 dargestellt. Mit diesem analytischen Ausdruck für die nichtlineare Suszeptibilität wurde die korrekte Funktionsweise des Iterativen Algorithmus, wie in Abschnitt 1.2 beschrieben, validiert. Dabei wurden folgende Ergebnisse erhalten:

A. Der gezeigte Iterative Algorithmus wurde auf Multilevelzustandssysteme in N = 4! angewandt.

B. Die nichtlinearen Response- Tensoren (Suszeptibilitäten Polarisationen und dielektrische Funktion) zur Beschreibung nichtzentrosymmetrischer Materie wurden daraus bestimmt / abgeleitet.

C. Die Konsistenz der nichtlinearen molekularen Response- Tensoren wurde durch Vergleich mit der Numerischen Skewness bestätigt

D. Im speziellen wurde daraus die quantenmechanische dielektrische Funktion für den linearen und nichtlinearen Fall untersucht und die damit erhaltenen Informationen über den Brechungsindex wurden gezeigt.

E. Frequenzvervielfachung SFG und die sich daraus ergebenden hohen Harmonischen wurden damit gezeigt.

1.6 Diskussion und Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wurden die ersten Ergebnisse zu den Response Tensoren im nichtlinearen Regime als mikroskopische Ursache gezeigt. Während das nichtlineare Responseverhalten in der aktuellen Literatur lediglich durch Störungstheorie mithilfe linearisierter Approximationsmethoden analysiert und verstanden werden kann, beschränken sich diese Ansätze zudem nur auf zwei Zustände, d. h. auf Wechselwirkung eines Oberflächenelektrons mit einem Photon. Aber eine exakte nichtlineare Analyse wird für ein Phänomen wie der Suszeptibilität und deren abgeleiteten Größen, bei Wechselwirkung mit mittleren bis starken optischen Feldern, notwendig. Die Berücksichtigung der Multiphotonenwechselwirkung ist für die Generation hoher und sehr hoher Harmonischer nötig. Eine neue weiterführende Berechnungsmethode für die Propagation des Dichteoperators für Multilevelsysteme, welche die komplexe Eigenwerte- Struktur von dissipativen Liouville Systemen berücksichtigt wurde entwickelt. Dazu wurde ein allgemeingültiger Algorithmus für Multilevelsysteme induziert durch Multiphotonenprozesse hergeleitet und auf Multilevelzustandssysteme mit Wechselwirkung nichtzentrosymmetrisch gebundener Elektronen in N = 4 Photonen angewandt und validiert. Dieser bestimmt die Hyperolarisierbarkeiten und Suszeptibilitäten über die Dichtematrix. Dieses Verfahren ist auf beliebig hohe Ordnungen erweiterbar. Man erhält Terme in Abhängigkeit der Populationen und berücksichtigen dabei, dass gemäß dem Modell kalter Atome, nur der Grundzustand besetzt ist. Um die vollständigen Terme zu erhalten wird hierbei eine Summation über alle Zustände (Kopplungen, Anfangswerte) durchgeführt und die intrinsische Permutationssymmetrie berücksichtigt. Die Kohärenz zwischen den jeweiligen Zuständen und zerfallen mit der phänomenologischen Dämpfungskonstanten . Zudem wurden hier die im nichtlinearen Regime auftretenden Skew Effekte im mikroskopischen Modell nichtzentrosymmetrischer Materie integriert. Damit wurden folgende Ergebnisse demonstriert. Die analytischen Ausdrücke für die nichtlinearen optischen Tensoren (Suszeptibilität) lassen sich in dem N Zustands- System interpretieren. Es wechselwirken alleine nur die Energieniveaus ,, , , , , und merklich mit dem optischen Feld. Dabei ist das angelegte Feld mit der Frequenz Ω_p, nahe der Resonanzstelle, des Übergangs und das angelegte Feld mit der Frequenz Ω_q nahe der Resonanzstelle des Übergangs usw. Die emittierte Feldfrequenz Ω_N, = Ω_p + Ω_q, + Ω_r + Ω_s + ... + Ω_N-1 ist nahe der Resonanzstelle des Übergangs. Die generierte Intensität ist umso größer je näher die resonanten Nennerfunktionen bei den atomaren Zuständen liegen.

Kapitel 2

2 Quantenoptische Multiphotonenprozesse

2.1 Einführung

Wie wir im Abschnitt zuvor gesehen haben, verläuft die Generierung der hohen Harmonischen über atomare Multilevelsysteme die induziert werden durch Multiphotonenprozesse und stellen Kohärenz induzierte Phänomene dar. Dabei sind das Verhalten der beiden System- Quantitäten, der Grad der Quanten- Kohärenz und des Populationstransfers von entscheidender Bedeutung. In diesem Abschnitt wird versucht neue Erkenntnisse über die Kohärenz und Populationstransfers für Vielniveausysteme welche mit einem resonanten elektromagnetischen Feld wechselwirken, zu erreichen. Dazu wird vom Standard- Modell der optischen Bloch Gleichungen ausgegangen, welche für Multilevelsysteme modifiziert werden. Wir untersuchen im speziellen das Langzeitverhalten des Grades der asymptotischen Quanten- Kohärenz, welche mit der asymptotischen Populationsdifferenz verflochten ist. Die traditionellen Populationsrelaxations- und Dekohärenz- Zeiten T₁ und T₂ verlieren ihre Bedeutung, wenn auf das System ein äußeres Feld wirkt und werden ersetzt durch eine mehr allgemeine globale Zeitskalierung, welches dem System durch das Feld aufgeprägt wird. Für zunehmende Felder, quantifiziert durch die Rabi- Frequenz Ω, nimmt erwartungsgemäß auch die Dekohärenzrate zu. Maximale asymptotische Kohärenz erreicht man für ein System, welche Frequenzen zwischen den gekoppelten Zuständen aufweist, die genügt.

2.2 Modifizierte Bloch Gleichungen

Dieser Abschnitt befasst sich mit der mathematischen Weiterentwicklung der optischen Bloch Gleichungen aus dem bekannten zwei- Level System zur Beschreibung von Population- Quantentransport nach Elektron- Multiphotonenwechselwirkung zur Generierung von HHG. Die präzisen Zustände sind aufgrund der Wechselwirkung zwischen den Atomen nicht mehr bekannt. In diesem Fall kann der Dichtematrix- Formalismus benutzt werden um das System statistisch zu beschreiben. Die Liouville Gleichung für die Dichtematrix der Form

(2.1)

Die Gleichung kann im Rahmen der RWA durch Einführung folgenden Variablenwechsels gelöst werden:

(2.2)

(2.3)

(2.4)

mit

(2.5)

mit der vereinfachenden Notation für die Quantitäten Population , Verstimmung Δ des optischen Feldes zur natürlichen Kristallresonanz für den Übergang und Atomfeldkopplungskonstante bzw. Rabifrequenz Ω mit welcher das System zwischen den beiden identifizierten Levels oszilliert in Abwesenheit eines äußeren Reservois. Dabei sind die wichtigen Zustände der Grundzustand und der energetisch höchste angeregte Zustand nach der Multiphotonenabsorption. Zum Nachweis der Kurzlebigkeit der Zwischenzustände und somit deren Vernachlässigung können wir über die Summierung aller Kohärenz- und Besetzungsbeiträge, insbesondere für ein Atom mit dem elektronischen Grundzustand und den angeregten Zuständen , , und anschreiben:

(2.6)

und

(2.7)

mit als promovierte, transformierte Kopplungszustände negativer Parität, wobei die Summierung über alle Kohärenzbeiträge wieder die Differenzterme des Grundzustandes und des energetisch höchsten gekoppelten Zustandes ergibt und die Summation über alle Besetzungsbeiträge Matrixelemente zeigen, welche immer die Bedingung negativer Parität erfüllen. Dabei heben sich bei der Summierung über alle Populationen die populierten Zwischenzustände heraus und wir haben unser Problem auf die Atomphysik eines gekoppelten Zwei- Niveau- Systems zurückgeführt. Mit den zuvor eingeführten neuen Variablen kann Gl. umgeschrieben werden in eine modifizierte Form der optischen Bloch Gleichungen für ein Multilevelsystem induziert durch Elektron- Multiphotonenwechselwirkung und wir erhalten für die zeitliche Variation der Quanten- Kohärenz und Quantentransfer folgenden Satz von Gleichungen:

(2.8)

(2.9)

und

(2.10)

unter Einführung der langsamen Variation der off- Diagonal Nebendiagonalen Dichtematrixkomponenten , (langsam veränderlichendes Feld)

(2.11)

mit deren zeitlichen Varianz:

(2.12)

Die zeitliche Entwicklung der Dichtematrix, welche die atomare Elektron- Photon- Wechselwirkung beschreibt, kann in dieser Notation kompakt formuliert werden mit:

(2.13)

(2.14)

wobei die Differenz der thermischen Gleichgewichtspopulation ist, in der asymptotisch relaxiert bei Abwesenheit eines externen elektrischen Feldes. Die mit dem atomaren System wechselwirkenden N- Photonen werden durch das optische Feld bereitgestellt, wobei positive sowie negative Frequenzen zugelassen werden:

(2.15)

mit . Da die Feldamplitude, die Phasenkonvention zur Beschreibung der Energieeigenwerte wie und daher κ als Observable (reelle Größe) Quantitäten sind, können die Dichtematrixelemente in Quantitäten von u und v ausgedrückt werden. Die Lösung dieser Gleichungen wird vereinfacht unter Berücksichtigung der RWA und Einbeziehung der Bloch- Vektor- Notation unter Einbeziehung der "Bloch- Vektor- Notation" mit:

(2.16)

mit als die jeweilig(en) betrachteten (beiden) wechselwirkenden Zustände. Dies berücksichtigt erhalten wir modifizierte "optische Bloch" Gleichungen:

(2.17)

Durch Separation in Realteil und Imaginärteil erhält man für die modifizierten optischen Bloch Gleichungen für Multiphotonenprozesse zwei Lösungen in Form einer dispersiven und absorptiven Amplitude, die entsprechend der Skewness nach links geneigt sind.

(2.18)

Damit erhalten wir die zeitliche Dynamik des in- Phase- Erwartungswerts (die 1- Komponente des Blochvektors) des atomaren Dipolmoments für nichtlineare Multiphotonenprozesse:

(2.19)

mit Produktbildung der Frequenzverstimmung des optischen Feldes unter Berücksichtigung der Nichtlinearität mit der gefundenen Frequenzkorrektur .

(2.20)

Man erkennt eine Schwingung mit zwei Amplituden, die gekoppelt sind. Die Zeit wurde so geeicht, dass die Störung mit cos(ωt) am Atom schwingt, wobei der Response zusätzlich mit einer sin- förmigen Schwingung reagiert. Dabei beschreibt die u- Komponente den in- Phase- Erwartungswert und die v- Komponente den gegen- Phase- Erwartungswert des atomaren Dipolmoments.

(2.21)

Daraus erhält man

(2.22)

wobei die Summenbildung der gekoppelten Atom- Beiträge eingeht mit:

(2.23)

welche die Beziehung zwischen den Anfangselementen und der Endelementen der Dichtematrix wiedergibt. Die Multiphotonen (Bloch)gleichung 2.28 beschreibt nun – semiklassisch – die zeitliche Entwicklung der inneren Dynamik von N- Niveau- Atomen, in Anlehnung an ein ’klassisches’ Spin- ½ -System.

(2.24)

Quantenmechanisch entsprechen die u- und v- Komponenten den in- und gegen- Phase- Erwartungswerten des atomaren Dipolmoments, wobei für das System im Grundzustand ist und mit sich das System im angeregten Zustand befindet.

2.3 Population und Quanten- Kohärenz für Multilevel- Systeme

Wir richten hier in diesem Abschnitt unser Interesse auf die Natur der Systemkohärenz und ihre Abhängigkeit von den Systemfeldparametern. Zu beachten ist, dass die Multiphotonenabsorption für jeden Zustand der Raumzeitpunkte nacheinander geschieht. Die zeitliche Entwicklung erzeugt einen Populationstransfer im angeregten Zustand. Grundzustand und angeregter Zustand sind wegen Abstrahlung der hohen Harmonischen miteinander gekoppelt und stehen bzgl. der Erzeugung hoher Harmonischer über Multiphotonenemission in Verbindung. Deshalb ist die zeitliche Entwicklung der angeregten Zustände und des Grundzustandes zu untersuchen. Zur Berechnung von Multi- Photonen- Puls Experimenten auf Ortsbasis mit beispielsweise N = 4 verschiedenen Fourierkomponenten erhalten wir für die Atomphysik, in Form des Populationstransfers zwischen den verschiedenen Zuständen, d. h. der Dichte der Besetzung , , , und und für die Kohärenzen, folgenden formalen Satz von Gleichungen:

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

und

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

Dabei wurden die für die Multiphotonenprozesse modifizierten Gleichungen, allgemein unter Berücksichtigung inverser Matrixelemente negativer Parität angeschrieben, wobei wir für dissipative Elektronen eine spontane Emissionsrate T₁ und eine transversale Dämpfung mit T₂ einfließen lassen, die für die natürliche Linienbreite (Zerfall der Besetzung) der monochrome und den Zerfall der Kohärenz verantwortlich ist. Die dazwischenliegenden Zustände sind, wie wir zuvor gesehen haben, nur sehr kurzlebig. Der Populationstransfer für Multiphotonenprozesse kann deshalb immer durch Kopplung von jeweils zwei Zuständen approximiert werden und letztendlich auf die Untersuchung von zwei extremen Zuständen zurückgeführt werden.

2.4 Asymptotische Quanten- Kohärenz und Quantentransfer

Wir betrachten hier in diesem Abschnitt zwei Dinge: Die zeitliche Entwicklung der Quanten- Kohärenz und des Quantentransfers der Populationen im asymptotischen Limes. Die analytische Lösung zu Gleichung für die Zeitentwicklung der Populations- Differenzen für 2- Zustandssysteme ist bekannt [Boyd]. Wir erweitern hier jetzt die Untersuchung der zeitlichen Populationsdynamik auf atomare Multilevelsysteme, welche durch Multiphotonenprozesse induziert werden. Dazu ist es sinnvoll die Populationsdifferenz zu bestimmen. Die zeitliche Dynamik der Quantenkohärenz des Systems hängt nur von den Populationen des Grundzustandes und des angeregten Zustandes ab, hier und . Deshalb ist die Beziehung zwischen den zeitlichen Kohärenzelementen der Dichtematrix und des Quantentransfers der Populationen über die Populationsdifferenz möglich. Folglich Differenzbildung über beide Zustände ergibt für die zeitliche Variation der Besetzungen

(2.38)

wobei eine negative Parität aufweist und die Wahrscheinlichkeit allgemein, nicht nur im thermischen Gleichgewicht, für den spontanen Zerfall der Population nach unten am größten ist. Das bedeutet für den Fall hier und für die Populationsdifferenz im thermischen Gleichgewicht, welche asymptotisch bei Abwesenheit von externen Feldern relaxiert folglich . Dies berücksichtigt ergibt:

(2.39)

(2.40)

mit den Fourierkomponenten , wobei die erhaltenen Lösungen in der rotating wave approximation (RWA) formuliert wurden. Dabei ist in der Umgebung der Resonanzfrequenz und die Differenz in der Nähe der 0 Frequenz, welches ihre natürliche Frequenz darstellt. Für den Fall der 4- Photonen Interferenz des NZS- Systems mit den atomaren Zuständen , , , und erhalten wir damit:

(2.41)

mit

(2.42)

Die zeitliche Variation der Quanten- Kohärenz und des Quantentransfers kann angeschrieben werden mit:

(2.43)

und

(2.44)

unter Einführung der langsamen Variation der Nebendiagonalen Dichtematrixkomponenten , (langsam veränderlichendes Feld)

(2.45)

mit deren zeitlichen Varianz:

(2.46)

Daraus ist ersichtlich, dass im asymptotischen Limes für t → ∞ sich das Treiberfeld verliert. Zudem sind für lange Zeiten, t → ∞ , wenn das System ihr Gleichgewicht erreicht, alle Zeitableitungen in Gleichung Null und der Asymptotische Wert für die langsame Variation der Dichtematrixelemente wird für den resonanten Fall λΔ = 0:

(2.47)

Die asymptotische Lösung für die Quantenkohärenz und den Quantentransfer in der RWA erhalten wir damit zu:

(2.48)

und

(2.49)

wobei die einzelnen Terme im System NZS- Materie formuliert werden können mit

(2.50)

und

(2.51)

wobei gilt:

(2.52)

Damit erhalten wir für die Populationsdifferenz im thermischen Gleichgewicht für NZS- Materie:

(2.53)

Damit können wir die Besetzungen in Abhängigkeit des thermischen Gleichgewichts formulieren

(2.54)

wobei die neuen Variablen und Quantitäten unter der Berücksichtigung der nichtlinear induzierten Skewness mit

(2.55)

(2.56)

berücksichtigt wurden. Für den Fall kleiner Rabi- Oszillationen kann man den Term mit vernachlässigen und wir erhalten unter der Approximation die natürliche Linienbreite zu:

(2.57)

Damit ergibt sich die Breite der Absorptionslinie unter Berücksichtigung schwacher Felder bzw. hoher Dämpfung mit zu:

(2.58)

d. h. die Spektrallinie nimmt mit der Intensität des Lichtfeldes zu genauso wie für 2- Zustands- Systeme, nur dass hier eine Kurvenform mit Skewnesseffekt auftritt. Der Sachverhalt dieser Gleichungen wurde graphisch dargestellt in Abb.

DISKUSSION: Zahlreiche Funktionen bezüglich der asymptotischen Kohärenz ist aus o. g. Gleichung ersichtlich. Offensichtlich verliert sich die Kohärenz, d. h. im Fall fehlender externer Felder . Am Bedeutsamsten, ist dass die asymptotische Größe der Kohärenz direkt proportional zur thermischen Gleichgewichtspopulationsdifferenz ist, d. h. der Differenz zwischen der Endpopulation zu jedem weiterem energieärmeren, stabileren Zustand. Die zeitlichen Kohärenzelemente der Dichtematrix relaxieren asymptotisch und implizieren mit eine Temperaturabhängigkeit T. Deshalb kann bei hohen Temperaturen, unabhängig von den gewählten Randbedingungen, niemals Null werden. Dies impliziert für das System eine Kohärenzverstärkung aufgrund des kombinierten Einflusses der von Null verschiedenen asymptotischen Populationsdifferenz und dem optischen Feld. Auf die gleiche Weise kann bei niedrigen Temperaturen und wieder unabhängig von den gewählten Randbedingungen, der Wert für asymptotisch gegen Null gehen. Für Populations- Relaxationsprozesse (angeregter Zustandszerfall) mit T₁ → ∞ wird gemäß Gl. die Kohärenz vollständig zerstört mit , induziert durch , weil die Population mit der Quantenkohärenz gekoppelt ist gemäß:

mit

. Daher kann asymptotische Kohärenz für endliches T₁ existieren, verschwindet aber im Limes. Vertraut man auf dieses Ergebnis zeigt sich dass es ein signifikantes, auf atomarer Ebene inneres Zusammenspiel gibt, zwischen der asymptotischen Populationsdifferenz , d. h. der Zeit in der sie ihren Limes erreicht, berücksichtigt durch T₁ , und der asymptotischen Quantenkohärenz . Interessanterweise zerfällt wie aus Gleichung (xyz) ersichtlich für hohe Rabifrequenzen ebenfalls die Kohärenz. ist eine wachsende Funktion in bis zum Wert , weil wir für die Singularität anschreiben können . Dabei ist zu beachten, dass dieser Wert im Gegensatz zum linearen Fall nach links korrigiert ist, weil das Sättigungsfeld einer beliebig verstimmten Welle gemäß proportional zur nichtlinearen Verstimmung ist. Eine weitere Zunahme der Rabifrequenzen ab diesem charakteristischen Wert verursacht eine Abnahme der asymptotischen Kohärenz. Zu Beachten ist, dass im speziellen Fall wo T₁ sehr groß ist, die asymptotische Kohärenz eine wachsende Funktion in ist, für alle möglichen Werte der Rabifrequenz .

2.5 Zusammenfassung:

In diesem Kapitel wurden die optischen Bloch Gleichungen, welche in der theoretischen Quantenoptik den Response von 2 Niveau Atomsystemen behandeln untersucht und auf Elektron- Multiphotonenwechselwirkung N- ter Ordnung zur Beschreibung von hohen und sehr hohen Harmonischen in nichtzentrosymmetrischen und zentrosymmetrischen Medien erweitert. Die modifizierten "optischen Bloch" Gleichungen für Multiphotonenprozesse beinhalten ebenfalls zwei Lösungen in Form einer dispersiven und absorptiven Amplitude, die entsprechend negativer ihrer Skewness nach links kippen. Weiters wurden Analytische Ausdrücke für Quantentransfer und Quantenkohärenz und deren zeiliche Dynamik für Multilevelsysteme entwickelt und erforscht. Es wurden einige Aspekte dieser modifizierten universellen Bloch Gleichungen behandelt mit besonderem Augenmerk auf die Quantenkohärenz und den Quantentransport des Systems und deren Abweichung vom approximierten linearen Fall. Die Ergebnisse dieser Berechnungen wurden verglichen mit der bekannten geschlossenen Form der 2- Level- Systeme. Es wurde gefunden, dass Multilevelsysteme mit den aus der quantenoptik bekannten 2- Level Systemen approximiert werden können und dass diese Approximation die Beschreibung der Relaxationsprozesse nicht wesentlich verändert. Es wurde gezeigt, dass unter gewissen Bedingungen, der resonante Quantentransport von Population (hier quantisierte elektrische Elementarladung) in nichtzentrosymmetrischen Medien beschrieben werden kann durch modifizierte resonante quantenmechanische Übergangsgleichungen, welche den optischen Bloch Gleichungen ähneln, aber zusätzliche modifizierte Terme beinhalten, welche die allgemeine N- Photonen Wechselwirkung mit dem Atom berücksichtigen. Eine detaillierte mikroskopische Ableitung ausgehend von der Liouville Gleichung wurde vorgestellt. Spezielle Aufmerksamkeit gebührt der Einfluss der Hysterese- Erscheinung als Funktion der Amplitude bzw. Energie. Die Unterscheidung zwischen klassischer und quantenmechanischer Beschreibung von resonanten Transport aufgrund Elektron- Photon- Wechselwirkung (Absorption und Emission) wurden deutlich herausgearbeitet und in den modifizierten Gleichungen gezeigt, sowie grafisch dargestellt.

Aspekte der Kohärenz und Dekohärenz wurden unter Zuhilfenahme der optischen Bloch Gleichungen untersucht. Durch deren Erweiterung auf Multilevelsysteme war man in der Lage eine ganze Reihe von ungewöhnlichen Charakteristiken herauszuarbeiten und kann damit das System besser verstehen. Es zeigte sich, dass der Grad der asymptotischen Quanten- Kohärenz für große Zeiten, mit der asymptotischen Populationsdifferenz eng verflochten ist. Die traditionellen Populationsrelaxations- und Dekohärenz- Zeiten T₁ und T₂ verlieren ihre Bedeutung, wenn auf das System ein äußeres Feld wirkt. Dann werden diese ersetzt durch eine mehr allgemeine globale Zeitskalierung, welches dem System durch das Feld aufgeprägt wird.

Für zunehmende Felder, quantifiziert durch die Rabi- Frequenz Ω, nimmt entgegen der naiven Vorstellung die Dekohärenzrate zu, anstatt die Kohärenz zu stabilisieren. Maximale asymptotische Kohärenz erreicht man für ein System, welche Frequenzen zwischen den gekoppelten Zuständen aufweist, die genügt. Letztendlich wurde die Möglichkeit gezeigt, dass Kohärenz wieder auftreten kann, d. h. von Null verschiedene asymptotischen Werte annehmen kann, nachdem die Kohärenz vollständig zu Null zerfallen ist. Zusammenfassend kann berichtet werden, dass die neue Methode die vorgestellt wurde, ein konzeptionelles Werkzeug zur Modellierung multidimensionaler quantenphysikalischer Systeme ist, welche beide Relaxationen als auch nichtlineare Oszillationen auf eine effiziente und konventionelle Art und Weise beschreibt.

Kapitel 3

3 Nichtlineare molekulare Multiphotonen Response Tensoren in den Raumzeitpunkten

3.1 Einführung

In diesem Abschnitt präsentieren wir eine Übersicht über den quantenmechanischen Aufbau der nichtlinearen, molekularen, optischen Response Tensoren nichtzentrosymmetrischer Materie. Das sind die Suszeptibilitäts- und Dielektrizitätstensoren, welche die innere Molekülstruktur beschreiben und führen dessen Notationen und Konventionen ein, wie sie in dieser Arbeit verwendet werden. Wenn nicht- zentrosymmetrische Systeme untersucht werden sollen, verschwinden nichtlineare Suszeptibilitäts- Tensoren in den Ordnungen mit , wobei Tensoren existieren, mit als erste von Null verschiedene nichtlineare Suszeptibilität. Daher werden wir unsere Diskussion auf nichtlineare Tensoren in geraden Ordnungen konzentrieren. Nichtlineare optische Prozesse werden oft als “N- Wellen- Mischen” bezeichnet, mit N als die absorbierten und emittierten Photonen. Die Multiphotonenwechselwirkung mit dem atomaren System stellt ein Multiwellen- Mischen dar und wird anhand des Prozesses des 5- Wellen- Mischens diskutiert, welcher bislang nicht in der aktuellen Literatur publiziert ist. Durch das N- Wellen- Mischen enstehen neue komplizierte nichtlineare Effekte. Je mehr Photonen (d. h. je höher die Ordnung) desto schwächer der Effekt. Sehr hohe Ordnungen können beobachtet werden, welche aber sehr hohe Intensitäten benötigen. Für Photonenenergien, welche mit den Energielevels des Mediums übereinstimmen, wird der Effekt maximal. In Abb. xyz ist exemplarisch ein 6- Wellen- Mischungs- Prozess dargestellt.

Abbildung 3‑1 zeigt das Termschema am Beispiel eines 6- Wellen- Mischungs- Prozesses. Nach oben gerichtete Pfeile stellen absorbierte Photonen dar und stellen einen Beitrag zum E- Feld dar. Im Umkehrschluss stellen nach unten gerichtete Pfeile emittierte Photonen dar und tragen einen Komplex konjugierten Feldfaktor bei.

3.2 Nichtlineare Suszeptibilität atomarer Multiphotonenprozesse

Die molekulare Suszeptibilität höherer als erster Ordnung wird als Hyperpolarisation bezeichnet. Somit ist die molekulare Suszeptibilität zweiter Ordnung bekannt als Hyperpolarisierbarkeit erster Ordnung, während die molekulare Suszeptibilität vierter Ordnung damit als Hyperpolarisierbarkeit dritter Ordnung bezeichnet wird u. s. w. So wie die elektrische Suszeptibilität die Materialeigenschaften beschreibt, so ist die Hyperpolarisierbarkeit von der Molekülstruktur abhängig und beschreibt somit die Eigenschaften der Moleküle. Die Hyperpolarisation N- ter Ordnung lässt sich über die nichtlineare Polarisation bestimmen.

(3.1)

mit

(3.2)

und als Produkt über alle Nennerzustände, d. h. die Singularitätsstellen unter Berücksichtigung der nichtlinearen Skewness nichtzentrosymmetrischer Materie. Wir erhalten als Ergebnis einen analytischen Ausdruck für die vollständige Suszeptibilität, welche lineare und nichtlineare Beiträge berücksichtigt.

(3.3)

wobei wir für die allgemeingültige Formulierung neben der Berücksichtigung aller beteiligten Zustände auch über alle räumliche Indices der NZS- Materie summieren. Unter Verwendung der neuen Notation mit

(3.4)

und

(3.5)

können wir die nichtlineare molekulare Suszeptibilität für nichtzentrosymmetrische Materie in Abhängigkeit der Quantitäten der resonanten Rabi- Frequenz und der nichtlinearen Verstimmung ausdrücken:

(3.6)

Daraus sieht man offensichtlich, dass für jeden gekoppelten einzelnen Zustand das E- Feld quadratisch eingeht, d. h. die Intensität berücksichtigt wird. Die nichtlineare orbitale Suszeptibilität können wir damit mit ihrem Real und Imaginärteil anschreiben

(3.7)

wobei als absorptive Linienform und als dispersive Linienform auch starke Felder berücksichtigt:

(3.8)

(3.9)

wobei der Absorptionskoeffizient für die ungesättigte, natürliche Linienform angeschrieben werden kann mit:

(3.10)

wobei gilt:

(3.11)

Dabei kann die Linienbreite mit dem Absorptionskoeffizienten in der Approximation mit gefunden werden zu:

(3.12)

Die Abbildungen zeigen die Änderungen der nichtlinearen modifizierten ~~molekularen~~ Suszeptibilitäten im nichtlinearen Medium. Nach den bisherigen Erkenntnissen ergibt sich ein Mediumresponse in Form einer komplexen Lorentzkurve. Berücksichtigt man die Nichtlinearität, wie in dieser Arbeit geschehen, so geht der Mediumresponse in eine Skewnessbehaftete komplexe Lorentz- Kurve über. Bedenkt man dass eine Frequenz einer Energie entspricht, so lässt sich die von den Symmetrieeigenschaften abhängige Frequenzabhängige Amplitude des Materieresponse energetisch deuten. Nach der hier in dieser Arbeit durchgeführten nichtlinearen Modellbildung besitzt nichtzentrosymmetrische Materie einen negativen Response, welcher einer Frequenzabnahme und somit auch einer Energieabnahme in der Umgebung der Singularitätsstelle entspricht. Danach antworten Oberflächen auf ihre Anregung mit negativer Skewness und somit durch zur Senkung ihrer Energie. Damit können sich Oberflächen besser stabilisieren und höhere Energien aushalten, bevor ihre Struktur, z. B. durch Schmelzen, zerstört wird. Die negative Skewness verleiht demnach nichtzentrosymmetrischer Materie erhöhte Stabilität um sie z. B. zur Katalyse, Oberflächenreaktionen und planare mikrooptische Bauteile besser nutzbar machen zu können. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass der Übergang Oberfläche / Bulk und der Festkörperbulk, mit ihrem positiven Skewness, mit zusätzlicher Bulkanregung antwortet. Somit kann der Bulk besser angeregt werden, hätte aber ohne diese Skewnessumkehr theoretisch einen höheren Schmelzpunkt.

Im Folgenden wird der nichtlineare Skewness- Effekt im Kontext der molekularen Response Tensoren diskutiert. Für die nichtlineare molekulare Suszeptibilität und der molekularen dielektrischen Spektral- Response ε(ω) für die Licht- Materie Wechselwirkung im extrem nichtlinearen Regime lassen sich folgende Graphen berechnen. Unter Berücksichtigung nichtzentrosymmetrischer und zentrosymmetrischer Skewnesseffekte ergibt sich für den Realteil und Imaginärteil der nichtlinearen Suszeptibilität (wie auch der nichtlinearen dielektrischen Funktion) beim Übergang vom linearen ins nichtlineare Medium folgendes Szenario:

Abbildung 3‑2 zeigt die Änderung der Real- und Imaginärteile der nichtlinearen modifizierten optischen Bloch Gleichungen, speziell der Real- und Imaginärteile der nichtlinearen Suszeptibilität χi beim Übergang vom linearen (oben) ins nichtlineare Medium in der Fourierdomäne (Mitte und unten). Die berechneten nichtlinearen Suszeptibilitäten nichtzentrosymmetrischer (Mitte) und zentrosymmetrischer Materie (unten) unterscheiden sich in diesem Modell charakteristisch in Form ihrer unterschiedlichen Skewness. Oberflächen können zur Stabilisierung, ihre Energie mittels negativer Skewness, absenken. Bulkmaterialien sind aufgrund ihrer umgekehrten Skewness besser anregbar.

wobei die zuvor diskutierten grundlegenden Eigenschaften erhalten bleiben, diese aber nun aber in einer kleinen Umgebung um ihre Singularitätsstellen bzw. mit der Frequenz stark variieren.

3.3 Nichtlinearer Dielektrizitätstensor atomarer Multiphotonenprozesse

Wir konzentrieren uns jetzt auf die Spektraleigenschaften der nichtlinearen Antwort nichtzentrosymmetrischer Materie auf monochromatische Felder und geben die molekularen nichtlinearen Tensoren im Fourier- Raum zusammenfassend an. Mithilfe der Dispersionstheorie können wir auf den exakten molekularen Dielektrizitätstensor beliebiger Ordnung schließen und somit den nichtlinearen Brechungsindex exakt analytisch bestimmen. Für homogene, isotrope Materie erhalten wir:

(3.13)

wobei die optischen Pumpfrequenzen darstellen, welche die Zustände besetzen. Dabei ist der Ausgangspunkt des Systems der Grundzustand mit einer Besetzung entsprechend der thermischen Verteilung für kalte Atome. Der molekulare, nichtlineare Dielektrizitätstensor 5- ter Stufe lautet entsprechend in den Komponenten ihrer Übergangshyperpolarisierbarkeiten im Fourier- Raum:

(3.14)

mit (+) 383 weiteren Termen. Dabei wird die Nennerfunktion im Resonanzfall nicht mehr alleine durch die komplexe Lorentz- Funktion, wie für Lorentz- Materialien üblich beschrieben, sondern es muss vielmehr der nichtlineare Skewness- Effekt mit formuliert werden. Die resonante Struktur dieser Ausdrücke kann verstanden werden in Termen ihrer Energieeigenwerte wie im Nächsten Abschnitt anhand des Energielevel- Termschemas, Pfaddiagramme und deren DFDs anschaulich erläutert wird.

3.4 Diskussion und Zusammenfassung

Bislang basiert die Theorie der nichtlinearen molekularen Suszeptibilität auf approximierte lineare Lösungen. In diesem Kapitel wurde gezeigt, dass die nichtlineraren Effekte sehr wohl wichtig sind und im quantenoptischen Formalismus berücksichtigt werden können. Zunächst wurde die nichtlineare molekulare optische Suszeptibilität nichtzentrosymmetrischer Materie theoretisch exakt beschrieben. Der Realteil und der Imaginärteil der nichtlinearen optischen Suszeptibilität nichtzentrosymmetrisch gebundener Elektronen kann analytisch berechnet werden mit:

(3.15)

wobei die eingeführten Quantitäten der Verstimmung und der Rabifrequenz für nichtzentrosymmetrische Materie modifiziert werden zu:

(3.16)

und

(3.17)

mit j als Indices der Anzahl der Frequenzkomponenten der j- ten Feldamplitude, in der jede Frequenzkomponente im quantenoptischen Modell einen neuen Zustand bevölkert.

(3.18)

mit als natürliche Linienform und als Leistungsverbreiterung. Daraus ist offensichtlich erkennbar, dass die Linie mit der Intensität wächst. Der Realteil der nichtlinearen Suszeptibilität besitzt eine Nullstelle für exakt resonante Teilchen , d. h. die dispersive Amplitude verschwindet für exakt resonante Teilchen. Zudem weißt die dispersive Amplitude für fehlende Verstimmung beim Durchgang durch die Resonanzstelle eine Vorzeichenänderung auf. Dies ist in der linearen Verstimmung im Zähler und der quadratischen Verstimmung im Nenner begründet in der letztendlich eine lineare Verstimmung im Nenner verbleibt. Dies generiert eine Kurve, welche Antisymmetrisch in ist. Für oszilliert das Atom- System sodass die Population vollständig vom Grundzustand zum angeregten Zustand übergeht. Bei einer größeren Verstimmung osziliiert das System schneller, aber die Wahrscheinlichkeit geht nicht ganz auf 1 hoch. Für oszilliert das Atom mit einer höheren Frequenz aber kleineren Amplitude. Die Imaginarität der nichtlinearen Suszeptibilität beschreibt die absorptive Amplitude, welche aufgrund auftretender Skewness- Effekte nicht mehr exakt der absorptiven Lorentz- Linienform entspricht. Im Zähler haben wir eine atomare Größe die konstant ist und erhalten deshalb eine symmetrische Funktion in . Der absorptive Term bleibt für exakt resonante Teilchen erhalten, weil dort eine Nullstelle besitzt und hat den Verlauf einer Skewness behafteten "Lorentz"- Kurve die Leistungsverbreitert ist. Die absorptive Amplitude ist verantwortlich dafür, dass tatsächlich Energie auf das Atom übertragen wird. Der Absorptionskoeffizient (im Zähler) und die Zerfallsrate des angeregten Zustands (im Nenner) sorgt für die Streuung von Photonen aus dem externen Laserlicht, wohingegen bei Resonanz der dispersive Term herausfällt. Insbesondere ist die Berücksichtigung der nichtlinearen Skewness Effekte von erheblicher Bedeutung und wir erhalten folgende neue Ergebnisse: Beim Übergang vom Grundzustand zum angeregten Zustand wurde mithilfe der klassischen Modelle ein Hystereseverhalten nachgewiesen. Dabei ergibt sich eine frequenzabhängige Amplitude welche hier im quantenoptischen Modell einer Energieabhängigen Zustandsänderung entspricht. Demzufolge ergibt sich auch in der Quantenmechanik bei den einzelnen Energieübergängen eine Frequenzverschiebung, die umso stärker ausgeprägt ist, je energiereicher der einzelne Übergang ist und umso stärker das Atom letztendlich angeregt wird.

Analog zur Zweiphotonenabsorption lassen sich Multiphotonenabsorptionsprozesse betrachten, wobei hier mit n ≫ 2 mehrere Photonen absorbiert werden. Je mehr Photonen absorbiert werden, d. h. je energiereicher der angeregte Zustand ist und je mehr Frequenzen eingestrahlt werden, desto unschärfer werden die höheren Energiezustände. Die Energieunschärfe nimmt mit der Energie zu. Es bildet sich ein (Energie-) Kontinuum aus, deren Zustände sehr langlebig sind. Der Endzustand liegt dann im Kontinuum des Atoms oder Moleküls. Dies ist vereinbar mit der Vorstellung der Absorptionslinie, die mit zunehmender Energie breiter wird und dementsprechend die Teilchenunschärfe zunimmt. Wenn der Endzustand im Kontinuum des Atoms oder Moleküls liegt, werden durch die Multiphotonenabsorption Elektronen aus der Atomhülle gelöst (Multiphotonenionisation). Dabei werden freie Elektronen erzeugt, die einen Beitrag zum Brechungsindex liefern können. Weiters konnten neue analytische quantenmechanische Tensoren für die nichtlinearen Hyperpolarisierbarkeiten und Dielektrizitäten N- ter Ordnung in den Komponenten ihrer Übergangshyperpolarisierbarkeiten im Fourier- Raum gefunden werden. Für den speziellen Fall nichtzentrosymmetrischer Materie sind dabei nur gerade Ordnungen möglich.

(3.19)

mit weiteren Termen. Aus der Dispersionstheorie konnten wir die nichtlineare dielektrische Funktion beliebiger Ordnung und somit den nichtlinearen Brechungsindex exakt analytisch bestimmen. Für homogenes, isotropes Material erhält man allgemein:

(3.20)

und

(3.21)

mit weiteren Termen.

Kapitel 4

4 QED atomarer N- Zustands- Systeme

4.1 Einführung

Die im letzten Kapitel erhaltenen Ergebnisse für die molekularen Response Tensoren lassen sich mithilfe der Feldquantisierung exakt analysieren. Dazu zeigen wir zuerst mit dem Formalismus der QED über die Streuamplitude den Mechanismus der Materie- Multiphotonenwechselwirkung der die innere Struktur der Erzeugung hoher Harmonischer zeigt. Wir präsentieren zudem eine systematische Diagramm- Methode und entwickeln es in den hohen Ordnungen weiter, um die Generation hoher und sehr hoher Harmonischer zu analysieren die über Multiphotonenprozesse funktionieren. Diese Methode bestimmt nicht nur einen alternativen Weg um diese Phänomene vorherzusagen, sondern auch um die Beiträge der individuellen Übergangs- Pfade in den Impulsraumzeitpunkten zu zeigen. Weiters formulieren wir eine Methode die doppelseitige Feynman Diagramme benutzt um SFG- Response- Mechanismen zwischen den Impulsraumzeitpunkten zu untersuchen und zeigen ihre Nützlichkeit zum Studium von Kohärenz induzierten Phänomenen wie SFG. Der Rechenaufwand für höhere Ordnungen nimmt mit (2^N N!) zu und führt schnell zu langen, unübersichtlichen Ausdrücken der Response Tensoren. Die physikalische Struktur der Response Tensoren, wie sie im letzten Abschnitt hergeleitet wurden, können anschaulich in einem Block- Schemata in Form eines Kohärenzfluss Diagramms analysiert werden.

4.2 Multiphotonen- Propagator

Die Wechselwirkungen des Photonenfeldes A mit einem Elektron werden mit der invarianten Störungstheorie beschrieben. Die Absorption und Emission von Photonen durch Elektronen wird in Referenz zum Compton Effekt formuliert und auf das Problem der Multiphotonenwechselwirkung nichtzentrosymmetrischer Materie angewandt und erforscht. Es kann von der Modellvorstellung ausgegangen werden, dass die Photonenenergie größer als die Bindungsenergie des Elektrons im Atom ist. Auf der Basis des Photoelektrischen Effekts kann ein Photon nie vollständig von einem freien Elektron alleine absorbiert werden, sondern vielmehr wird das Photon vom ganzen Festkörper gebunden bzw. absorbiert. Der vollständige Absorptions-, Transport- und Emissionsprozess von Photonen in nichtzentrosymmetrischer Materie zur Generierung hoher Harmonischer wird im folgenden durch die quantenelektrodynamische Feldtheorie entwickelt und erforscht. Die Resultate werden in Feynmann Diagrammen dargestellt. Der Streuprozess der Photonen am Elektronensystem verläuft über Einteilchen- Zwischenzustände mit einem virtuellen Elektron. Die Photonen k werden dabei absorbiert und wechselwirken mit einem virtuellen Elektron, wobei das Atomsystem promoviert und später unter Emmitierung der Photonen k´ in den Grundzustand übergeht. Das Photonenmatrixelement für den "quasi" Absorptionsprozess können wir für den Fall des 5- Wellen- Mischens als Vakuumserwartungswert eines mehrstufigen quantenmechanischen Vielteilchen- Prozesses anschreiben:

(4.1)

Unter Berücksichtigung der kontrahierenden inneren und äußeren Operatoren erhält man

(4.2)

wobei für das Photonenfeld A die Beziehungen

(4.3)

verwendet wurden. Die Multiphotoneneinstrahlung bewirkt ein virtuelles Elektron, welches mit jedem hinzukommenden Photon wechselwirkt. Der Elektronenpropagator induziert durch den Multiphotonenprozess für 5- Wellen Mischen lautet:

(4.4)

Kontrahierung der Operatoren liefert,

(4.5)

wobei in der weiteren Entwicklung des Elektronen- Vakuumserwartungswert nur die Photonenabsorption, mit t > t´ Berücksichtigung findet.

(4.6)

Multiplikation des Elektronenmatrixelements mit dem Photonenpropagator liefert die - Matrix für die Absorption der Photonen:

(4.7)

wobei der Lösungsansatz ebener Elektronen- und Photonenwellen zugrundegelegt wurde.

(4.8)

mit als 4- Einheitsvektoren der Photonen- Polarisation, k und p der 4- Impuls der Elektronen und Photonen. Der Übergang zur - Matrix liefert über die Integration mithilfe der Eigenschaften der δ- Distribution die Streuamplitude zu:

(4.9)

wobei der Elektron- Multiphotonenprozess bezüglich der Renormierung der Photonen in äußeren Photonenlinien keine Strahlungskorrektur berücksichtigt werden muss, da der Korrekturterm bezüglich des Polarisationsoperators für in verschwindet und die Streuamplitude des Elektronenpropagators der Korrektur genügt. Für QED Multiphotonenprozesse kann ein Lösungsansatz für die Berechnung in Form des Diagramms

angesetzt werden. Dies vermindert den Rechenaufwand enorm und berücksichtigt die zugrundeliegende Physik hinreichend genau.

4.3 Kohärenzfluss Diagramm

Die im letzten Kapitel erhaltenen Ergebnisse für die molekularen Response Tensoren lassen sich anschaulich in einem Block- Schemata in Form eines Kohärenzfluss Diagramms darstellen. Damit erhält man eine übersichtliche Darstellung der möglichen Resonanzterme. Mit dieser entwickelten Methode erhält man ein Instrument, mit der es sehr schnell möglich ist auf die nichtlinearen optischen Response-Tensoren hoher Ordnungen zu schließen und mittels DFDs informativ darzustellen. Mit dem Kohärenzfluss Diagramm ist es möglich systematisch die verschiedenen Kohärenzpfade zu konstruieren und alle relevanten SFG- und DFG Kohärenzwege zu finden. Die Abbildung zeigt den Fluss der Kohärenzen atomarer N- Zustands– Systeme mit dem alle atomaren Prozesse beschrieben werden können.

Abbildung 4‑1 zeigt das entwickelte allgemeingültige Kohärenzfluss Diagramm welche alle relevanten Elemente und möglichen Verbindungen atomarer N- Zustands– Systeme beinhaltet. Dabei wird eine 2 dimensionale abgestufte Netzstruktur erzeugt welche durch die beiden Entwicklungspfade aufgespannt wird.

Die Zeilen beschreiben die Summenfrequenzerzeugung (SFG), d. h. die hohen Harmonischen HHG, wobei von unten nach oben die beteiligten Frequenzen vervollständigt werden. Charakteristisch dafür ist, dass die endgültige emittierende Kohärenz den Grundzustand |l> beinhaltet, sodass das Molekül zum Grundzustand zurückkommt, nachdem sie die -Kohärenz emittiert wurde. SFG besitzt entlang der waagrechten Entwicklung reversible Kohärenzpfade mit abnehmender Ordnung. Unter Berücksichtigung aller Zustände und Einstrahlungsfrequenzen lautet ein möglicher Kohärenz- Pfad ll→ ml →…l→ Πl→ …l→ Zl. Senkrecht dazu werden die Differenzenfrequenzen auf dem Kohärenz- Pfad ll→ lσ→ l…→ lΣ→ l… → lZ entwickelt, wobei von rechts nach links die Zustände berücksichtigt werden und die Ordnung der DFG nach unten hin zunimmt. Die DFG zeigt dabei die Entwicklungsrichtung von der Ket- Seite zur Bra- Seite. Für die Differenzfrequenzerzeugung ist es charakteristisch das die letzte emittierte Kohärenz nicht den Grundzustand betrifft, so dass das Molekül in einer - Population gelassen wird nachdem die vorhergehende Kohärenz für emittiert wird. Es ergeben sich für DFG jeweils zwei interferierende Kohärenzwege der (N-2)- atomaren Zustandswege / Zustände. Insgesamt erhält man damit ein mächtiges Instrument um schnell auf die Suszeptibilitätsterme und somit auf die Polarisationsausdrücke, die dielektrische Funktion und den Brechungsindex schließen zu können.

4.4 Von zwei zu fünf Zuständen

Es soll nun untersucht werden, wie die Ergebnisse des Zwei- Zustands- Modell mit zunehmender Anzahl der Zustände skalieren. Mit dem entwickelten Kohärenzfluss Diagramm analysieren wir die Übergangs- Pfade der Suszeptibilität 4. ter Ordnung in der Tensorstufe 5. Ordnung. Dazu betrachten wir das in Abb. (4.2) dargestellte nichtzentrosymmetrische, nichtlineare System.

Abbildung 4‑2

Abbildung 4‑3

Abbildung 4-2 (oben) zeigt das quantenmechanische HHG System für Fünfwellenmischen nichtzentrosymmetrischer Materie, deren Kopplung und optischen Felder. Insbesondere ist der elektronische Grundzustand und , , und sind angeregte elektronische Zustände mit Ω_p, Ω_q, Ω_r, Ω_s, als die Rabifrequenzen. Die Energieentartungen sind rot hinterlegt. Das Energieniveauschema wird benutzt um die Modelierung des Oberflächen– Systems hier in der 4. Ordnung (4 WM) der Tensorstufe 5. Ordnung zu zeigen, welches speziell die hohen und sehr hohen Harmonischen generiert Abb.: 4-3 (Unten) Kohärenzfluß- Diagramm welche alle möglichen SFG- und DFG Kohärenzwege generiert. Dabei sind gleiche Zustände, wie z. B , da nur für gilt. Die senkrechten Entwicklungslinien beschreiben nach unten die nicht reversible emittierende Strahlung.

In diesem System sind wir an interessiert, welche die hohen Harmonischen generieren.

Abbildung 4-3 zeigt das erzeugte Kohärenz Pfad- Diagramm, welche alle relevanten Elemente und Verbindungen beinhaltet. Zuerst betrachten wir den Übergang auf der „Ket-“ Seite von . Da mit über das Kopplungsfeld miteinander koppelt, wird dies durch die Schreibweise im Diagramm angegeben. Der Doppelpfeil symbolisiert, dass Übergänge in beide Richtungen auftreten können gemäß , wobei die Rabifrequenz und die inverse Rabifrequenz des koppelnden Feldes ist. Weiters koppelt mit , mit und mit durch das optische Feld. Betrachten wir die Übergänge der Bra- Seite von . Da mit durch das optische Feld koppelt und die Köhärenz zum Schluß in einem nicht reversiblen Übergang emittiert wird, machen wir die Verbindung zwischen und vertikal mit der Notation Ω_x ↓ im Diagramm deutlich. Die Bra Entwicklung nach unten erzeugt eine zunehmende Ordnung der DFG. Auf die gleiche Weise können die Übergänge zu den neu hinzugekommenen Elementen behandelt werden. Wir wiederholen diese Vorgehensweise, bis alle Elemente berücksichtigt wurden und keine Verbindungen mehr gemacht werden können. Diese beiden Entwicklungenpfade der Zustände formen ein 2- dimensionales (abgestuftes) Netz, wie in Abbildung 4-3 gezeigt wird. Jeder Doppelpfeil innerhalb der Gitternetz- Zone entwickelt durch geeignetes ein und ausschalten des externen optischen Feldes ein pulsierendes optisches Feld, welche mit eine unendliche Oszillation über zwei Zustände induziert, die somit als optische Fallen fungieren könn(t)en. Nachdem wir auf diese Weise das Kohärenz- Übergangs - Pfad- Diagramm erhalten haben, können wir mit diesen Kenntnissen, folgende Rückschlüsse ziehen. Summenfrequenzerzeugung im Falle von 5- Wellen Mischen besitzt entlang der waagrechten Entwicklung reversible Kohärenzpfade mit den Elementen

(1. Zeile)

(2. Zeile)

(3. Zeile)

(4. Zeile)

(5. Zeile)

Als Sonderfall für identische Anregungsfrequenzen erhalten wir daraus Frequenzvervielfachung, d. h. hier im speziellen Fall Frequenzvervierfachung 4wp…4ws. Dies geht konform mit nichtzentrosymmetrischer Materie, welche Oberflächenselektiv sind, indem für isotrope Materialien nur Prozesse gerader Ordnung in N möglich sind. Man erkennt dass das Molekül für die Differenzfrequenzerzeugung im Falle von 5- Wellen- Mischen in einer , , , - Population gelassen wird nachdem die , , , - Kohärenz emittiert wurde. Dies zeigt die typische Charakteristik der DFG, wo die letzte emittierte Kohärenz nicht den Grundzustand betrifft. Es ergeben sich jeweils zwei Kohärenzwege der (N-2) = 3 Zustände die miteinander interferieren.

und

Bei vier Anregungsfrequenzen ω1 … ω4 werden unter Vernachlässigung sich wiederholender Frequenzen 74 verschiedene Frequenzkomponenten ausgegeben.

Nachdem wir auf diese Weise das Kohärenz- Übergangs - Pfad- Diagramm erhalten haben, können wir mit diesen Kenntnissen, die dazugehörigen DFDs konstruieren und die mathematischen Resonanz- Terme ableiten und interpretieren.

4.5 DFDs für Multiphotonenprozesse

Doppelseitige Feynman- Diagramme und die Entwicklung des Dichtematrixoperators: Wir können die relevanten Verbindungen im Impulsraum anschaulich in Feynman- Diagrammen darstellen. Waagrecht erhält man somit die SFG und vertikal / als Vertices die DFG. Abbildungen zeigen das erhaltene Diagramm, welches alle relevanten Elemente der DFD- Beiträge des Absorbers und deren Verbindungen zueinander enthält.


*(A1)*		*(E1)*

Abbildung 4‑4 zeigt die (A1) und (E1) Beiträge mit den Frequenzen: in Form der doppelseitigen Feynman- Diagramme zur optischen Response Funktion 4. Ordnung des in Abb 2.4 gezeigten Systems. Es ergeben sich 2^N = 16 grundlegende Liouville Pfade für Summenferquenzerzeugung (SFG) und Differenzfrequenzerzeugung (DFG) die hier im folgenden dargestellt werden. Die restlichen Terme mit jeweils weiteren N! Permutations- Termen durch den Permutationsoperators vertreten und beinhalten keine weiteren Informationen, sondern sind nur Variationen der Grundterme, sodass sie hier nicht zusätzlich dargestellt werden muss.


*(B1)*	*(B2)*	*(B3)*


	*(B4)*

Abbildung 4‑5 zeigt die auftretenden (BX) Beiträge mit den emittierenden Photonen Frequenzen: , , und .


*(C1)*	*(C2)*	*(C3)*


*(C4)*	*(C5)*	*(C6)*

Abbildung 4‑6 zeigt die 6 (CX) Beiträge mit den emittierenden Photonen Frequenzen: , , ,

, und .


*(D1)*	*(D2)*	*(D3)*


	*(D4)*

Abbildung 4‑7 zeigt die 4 (DX) Beiträge mit den emittierenden Photonen Frequenzen: , , und .

*Corresponding author.

E-mail address: pkrampl@t-online.de (P. Krampl).